Упр.11.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=6$$;
   2) $$\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}}-\sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}}=2$$.

1) Пусть $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$x=y^2+1.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{y^2+1+2y}+\sqrt{y^2+1-2y}=6,$$

то есть

$$\sqrt{(y+1)^2}+\sqrt{(y-1)^2}=6,$$

$$|y+1|+|y-1|=6.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\ge 1,$$ то $$|y+1|+|y-1|=(y+1)+(y-1)=2y,$$ значит $$2y=6,$$ откуда $$y=3;$$
• если $$-1\le y<1,$$ то $$|y+1|+|y-1|=(y+1)-(y-1)=2,$$ что не подходит;
• если $$y<-1,$$ то $$|y+1|+|y-1|=-(y+1)-(y-1)=-2y,$$ значит $$-2y=6,$$ откуда $$y=-3.$$

Возвращаемся к замене:

$$\sqrt{x-1}=3 \quad \Rightarrow \quad x-1=9 \quad \Rightarrow \quad x=10,$$

$$\sqrt{x-1}=-3$$ невозможно, так как корень неотрицателен.

2) Пусть $$y=\sqrt{x+5}.$$ Тогда $$x=y^2-5.$$

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{y^2-5+6+2y}-\sqrt{y^2-5+6-2y}=2,$$

то есть

$$\sqrt{y^2+2y+1}-\sqrt{y^2-2y+1}=2,$$

$$|y+1|-|y-1|=2.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$y\ge 1,$$ то $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(y-1)=2,$$ подходит любое $$y\ge 1;$$
• если $$-1\le y<1,$$ то $$|y+1|-|y-1|=(y+1)-(-y+1)=2y,$$ и тогда $$2y=2,$$ откуда $$y=1;$$
• если $$y<-1,$$ то $$|y+1|-|y-1|=(-y-1)-(-y+1)=-2,$$ что не подходит.

Значит, $$y\ge 1.$$ Тогда

$$\sqrt{x+5}\ge 1 \quad \Rightarrow \quad x+5\ge 1 \quad \Rightarrow \quad x\ge -4.$$

Ответ

1) $$10$$; 2) $$[-4;+\infty).$$