Упр.11.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Решите уравнение, используя метод замены переменной:
1) $$x^2-4x-3\sqrt{x^2-4x+20}+10=0$$;
2) $$2\sqrt{x^2-3x+11}=4+3x-x^2$$;
3) $$\sqrt{2x^2-6x+40}=x^2-3x+8$$;
4) $$5x^2+10x+\sqrt{x^2+2x-15}=123$$.
1) Пусть $$y=\sqrt{x^2-4x+20}.$$ Тогда исходное уравнение примет вид
$$y^2-3y-10=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$y_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{3+7}{2}=5.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2-4x+20}\ge 0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x^2-4x+20}=5,$$
$$x^2-4x+20=25,$$
$$x^2-4x-5=0.$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36,$$
$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{4+6}{2}=5.$$
Ответ: $$-1,\ 5.$$
2) Пусть $$y=\sqrt{x^2-3x+11}.$$ Тогда
$$2y=4+3x-x^2.$$
Из равенства $$x^2-3x+11=y^2$$ получаем $$3x-x^2=11-y^2.$$ Подставим:
$$2y=4+11-y^2,$$
$$y^2+2y-15=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 15=64,$$
$$y_1=\frac{-2-8}{2}=-5,\qquad y_2=\frac{-2+8}{2}=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2-3x+11}=3,$$
$$x^2-3x+11=9,$$
$$x^2-3x+2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
Ответ: $$1,\ 2.$$
3) Пусть $$y=\sqrt{2x^2-6x+40}.$$ Тогда
$$y=x^2-3x+8.$$
Из равенства $$2x^2-6x=y^2-40$$ имеем
$$x^2-3x=\frac{y^2-40}{2}.$$
Подставим в выражение для $$y$$:
$$y=\frac{y^2-40}{2}+8,$$
$$2y=y^2-24,$$
$$y^2-2y-24=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 24=100,$$
$$y_1=\frac{2-10}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{2+10}{2}=6.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=6.$$ Тогда
$$\sqrt{2x^2-6x+40}=6,$$
$$2x^2-6x+40=36,$$
$$2x^2-6x+4=0,$$
$$x^2-3x+2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2=1,$$
$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2.$$
Ответ: $$1,\ 2.$$
4) Пусть $$y=\sqrt{x^2+2x-15}.$$ Тогда
$$5x^2+10x=5y^2+75.$$
Подставим в уравнение:
$$5y^2+75+y=123,$$
$$5y^2+y-48=0.$$
$$D=1^2+4\cdot 5\cdot 48=961,$$
$$y_1=\frac{-1-31}{10}=-\frac{16}{5},\qquad y_2=\frac{-1+31}{10}=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3.$$ Тогда
$$\sqrt{x^2+2x-15}=3,$$
$$x^2+2x-15=9,$$
$$x^2+2x-24=0.$$
$$D=2^2+4\cdot 24=100,$$
$$x_1=\frac{-2-10}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-2+10}{2}=4.$$
Ответ: $$-6,\ 4.$$
