Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=3$$; 2) $$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3$$.

1) Обозначим:

$$\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=3.$$

Возведём в квадрат:

$$(4-x)+2\sqrt{(4-x)(x+5)}+(x+5)=9$$

$$9+2\sqrt{(4-x)(x+5)}=9$$

$$\sqrt{(4-x)(x+5)}=0$$

Следовательно,

$$(4-x)(x+5)=0$$

$$x=4 \quad \text{или} \quad x=-5.$$

Проверка:

$$x=4:\ \sqrt{4-4}+\sqrt{4+5}=0+3=3;$$

$$x=-5:\ \sqrt{4-(-5)}+\sqrt{-5+5}=3+0=3.$$

Оба корня подходят.

2) Пусть

$$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3.$$

Возведём в квадрат:

$$(2x+3)+2\sqrt{(2x+3)(x+5)}+(x+5)=9$$

$$3x+8+2\sqrt{(2x+3)(x+5)}=9$$

$$2\sqrt{(2x+3)(x+5)}=1-3x$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$1-3x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$4(2x+3)(x+5)=(1-3x)^2$$

$$4(2x^2+13x+15)=1-6x+9x^2$$

$$8x^2+52x+60=1-6x+9x^2$$

$$x^2-58x-59=0$$

$$D=58^2+4\cdot 59=3600$$

$$x_{1,2}=\frac{58\pm 60}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=59.$$

Проверка:

$$x=-1:\ \sqrt{2\cdot(-1)+3}+\sqrt{-1+5}=1+2=3;$$

$$x=59:\ \sqrt{2\cdot 59+3}+\sqrt{59+5}=11+8=19\ne 3.$$

Подходит только $$x=-1.$$

Ответ

1) $$x=-5,\ 4$$; 2) $$x=-1$$.