Упр.11.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2$$;
- $$\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2$$.
1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2.$$
Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$\sqrt{2x+5}=2+\sqrt{3x-5}$$
$$2x+5=4+4\sqrt{3x-5}+3x-5$$
$$-x+6=4\sqrt{3x-5}$$
Снова возведём в квадрат:
$$(-x+6)^2=16(3x-5)$$
$$x^2-12x+36=48x-80$$
$$x^2-60x+116=0$$
$$D=60^2-4\cdot116=3136$$
$$x_{1,2}=\frac{60\pm56}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=58.$$
Проверим:
$$\sqrt{2\cdot2+5}-\sqrt{3\cdot2-5}=3-1=2,$$
$$\sqrt{2\cdot58+5}-\sqrt{3\cdot58-5}=11-13=-2\neq2.$$
Подходит только $$x=2.$$
2) Решим уравнение $$\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2.$$
Перенесём один корень:
$$\sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x+1}$$
Возведём в квадрат:
$$3x+1=4+4\sqrt{x+1}+x+1$$
$$2x-4=4\sqrt{x+1}$$
$$x-2=2\sqrt{x+1}$$
Снова возведём в квадрат:
$$x^2-4x+4=4x+4$$
$$x^2-8x=0$$
$$x(x-8)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=8.$$
Проверим:
$$\sqrt{3\cdot0+1}-\sqrt{0+1}=1-1=0\neq2,$$
$$\sqrt{3\cdot8+1}-\sqrt{8+1}=5-3=2.$$
Подходит только $$x=8.$$
Ответ
1) $$x=2$$; 2) $$x=8$$.
