Упр.11.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1$$;
   2) $$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1$$.

1) Пусть

$$\sqrt{1+x\sqrt{x^2+24}}=x+1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x+1.$$

Тогда

$$x\sqrt{x^2+24}=x^2+2x.$$

При $$x\neq 0$$ делим на $$x$$:

$$\sqrt{x^2+24}=x+2.$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2+24=x^2+4x+4,$$

$$4x=20,$$

$$x=5.$$

Проверка:

$$\sqrt{1+5\sqrt{5^2+24}}=\sqrt{1+5\cdot 7}=\sqrt{36}=6=5+1.$$

Кроме того, $$x=0$$ тоже подходит:

$$\sqrt{1+0\cdot \sqrt{0^2+24}}=\sqrt{1}=1=0+1.$$

Значит, $$x=0$$ и $$x=5$$.

2) Пусть

$$\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1+x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x+1.$$

Тогда

$$x\sqrt{x^2-24}=x^2-2x.$$

При $$x\neq 0$$ делим на $$x$$:

$$\sqrt{x^2-24}=x-2.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2-24=x^2-4x+4,$$

$$4x=28,$$

$$x=7.$$

Проверка:

$$\sqrt{1+7\sqrt{7^2-24}}=\sqrt{1+7\cdot 5}=\sqrt{36}=6=7-1.$$

Также $$x=0$$ не подходит, так как $$\sqrt{1+0\cdot \sqrt{0^2-24}}=1\neq -1.$$

Следовательно, $$x=7$$.

Ответ

1) $$0,\,5$$; 2) $$7$$.