Упр.11.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите уравнение, используя метод замены переменной:
- 1) $$x^{1/3}+2x^{2/3}-3=0$$; 6) $$x^2-x+9+\sqrt{x^2-x+9}=12$$;
2) $$\sqrt{x}+x^{1/4}-6=0$$; 7) $$(x^2-4x+4)^{1/3}-2(x-2)^{1/3}=0$$;
3) $$2x-7\sqrt{x}-15=0$$; 8) $$\frac{1}{x^{1/4}-1}+\frac{3}{x^{1/4}+1}=2$$;
4) $$x^{1/3}+3x^{1/6}=4$$; 9) $$\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}+7\sqrt{\frac{x-1}{x+5}}=8$$;
5) $$2\sqrt{x+1}-5=\frac{3}{\sqrt{x+1}}$$; 10) $$\frac{xx^{1/3}-1}{x^{2/3}-1}-\frac{x^{2/3}-1}{x^{1/3}+1}=4$$.
1) Пусть $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x^{2/3}=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$2y^2+y-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$x_1=\left(-\frac32\right)^3=-\frac{27}{8},\qquad x_2=1^3=1.$$
2) Пусть $$y=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда $$\sqrt{x}=y^2,$$ и получаем
$$y^2+y-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=-3,\qquad y_2=2.$$
Так как $$y=\sqrt[4]{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=2.$$ Тогда
$$x=2^4=16.$$
3) Пусть $$y=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=y^2,$$ и уравнение имеет вид
$$2y^2-7y-15=0.$$
$$D=49+120=169,$$
$$y_1=\frac{7-13}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{7+13}{4}=5.$$
С учётом $$y\ge 0$$ получаем $$y=5,$$ значит
$$x=5^2=25.$$
4) Пусть $$y=\sqrt[6]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2,$$ и уравнение сводится к
$$y^2+3y-4=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_1=-4,\qquad y_2=1.$$
Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда
$$x=1^6=1.$$
5) Пусть $$y=\sqrt{x+1}.$$ Тогда уравнение принимает вид
$$2y-5=\frac{3}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$2y^2-5y=3,$$
$$2y^2-5y-3=0.$$
$$D=25+24=49,$$
$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ берём $$y=3.$$ Тогда
$$x+1=9,\qquad x=8.$$
6) Пусть $$y=\sqrt{x^2-x+9}.$$ Тогда
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=-4,\qquad y_2=3.$$
Так как $$y\ge 0,$$ получаем $$y=3.$$ Тогда
$$x^2-x+9=9,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0.$$
Следовательно,
$$x=0 \text{ или } x=1.$$
7) Пусть $$y=\sqrt[3]{x-2}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2-4x+4}=\sqrt[3]{(x-2)^2}=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$y^2-2y-3=0.$$
$$D=4+12=16,$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=3.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\sqrt[3]{x-2}=-1 \Rightarrow x-2=-1 \Rightarrow x=1,$$
$$\sqrt[3]{x-2}=3 \Rightarrow x-2=27 \Rightarrow x=29.$$
8) Пусть $$y=\sqrt[4]{x}.$$ Тогда
$$\frac{1}{y-1}+\frac{3}{y+1}=2.$$
Умножим на $$(y-1)(y+1)$$:
$$y+1+3(y-1)=2(y^2-1).$$
$$4y-2=2y^2-2,$$
$$2y^2-4y=0,$$
$$2y(y-2)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=2.$$ Тогда
$$x=0^4=0,\qquad x=2^4=16.$$
9) Пусть $$y=\sqrt{\frac{x+5}{x-1}}.$$ Тогда
$$y+\frac{7}{y}=8.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-8y+7=0.$$
$$D=64-28=36,$$
$$y_1=1,\qquad y_2=7.$$
1) $$y=1$$ даёт
$$\frac{x+5}{x-1}=1 \Rightarrow x+5=x-1,$$
что невозможно.
2) $$y=7$$ даёт
$$\frac{x+5}{x-1}=49,$$
$$x+5=49(x-1),$$
$$48x=54,$$
$$x=\frac{54}{48}=\frac98.$$
10) Пусть $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$x=y^3,$$ $$\sqrt[3]{x^2}=y^2,$$ и уравнение преобразуется к виду
$$\frac{y^4-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$
Так как $$y^4-1=(y^2-1)(y^2+1),$$ получаем
$$y^2+1-\frac{(y-1)(y+1)}{y+1}=4,$$
$$y^2+1-(y-1)=4,$$
$$y^2-y-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=2.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x_1=(-1)^3=-1,\qquad x_2=2^3=8.$$
Ответ
1) $$-\frac{27}{8};\ 1$$; 2) $$16$$; 3) $$25$$; 4) $$1$$; 5) $$8$$; 6) $$0;\ 1$$; 7) $$1;\ 29$$; 8) $$0;\ 16$$; 9) $$\frac98$$; 10) $$-1;\ 8$$.
