Упр.10.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1) $$\left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot\frac{m}{n}=n^{1/2}-m^{1/2};$$
   2) $$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}=\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$

1) Преобразуем выражение:

$$\left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot \frac{m}{n}$$
$$=\left(\frac{m^2+n^2}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}-\frac{m(m+n)}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\right)\cdot \frac{m}{n}$$
$$=\frac{m^2+n^2-m^2-mn}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\cdot \frac{m}{n} =\frac{n^2-mn}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\cdot \frac{m}{n}$$
$$=\frac{n(n-m)}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\cdot \frac{m}{n} =\frac{n-m}{m^{1/2}+n^{1/2}}$$
$$=\frac{\left(n^{1/2}-m^{1/2}\right)\left(n^{1/2}+m^{1/2}\right)}{m^{1/2}+n^{1/2}} =n^{1/2}-m^{1/2}.$$

Тождество доказано.

2) Рассмотрим левую часть:

$$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}$$
$$=\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}(a^{-1/3}-b^{-1/3})-\left(a^{-1}+b^{-1}\right)}{(a^{-1/3}-b^{-1/3})\left(a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}\right)} \cdot \frac{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+b^{-2/3}}.$$

Упростим числитель первой дроби:

$$a^{-1/3}b^{-1/3}(a^{-1/3}-b^{-1/3})-\left(a^{-1}+b^{-1}\right) = -\left(a^{-2/3}+b^{-2/3}\right).$$

Тогда

$$-\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} \cdot \frac{1}{a^{-2/3}+b^{-2/3}} = -\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}.$$

Преобразуем:

$$-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} = -\frac{1}{\frac{1}{a^{1/3}}-\frac{1}{b^{1/3}}} = -\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{b^{1/3}-a^{1/3}} = \frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$

Тождество доказано.