Упр.10.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения): 1) $$a-b$$; 2) $$a^{1,5}-b^{1,5}$$; 3) $$m^{0,6}-8n^{1,8}$$; 4) $$x^{\frac{6}{7}}-6$$.

Используем формулу разности кубов:

$$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2).$$

1. $$a-b=a^{\frac13}-b^{\frac13}=\left(a^{\frac13}-b^{\frac13}\right)\left(a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23}\right).$$

   То есть

   $$a-b=\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right).$$

2. $$a^{1,5}-b^{1,5}=a^{\frac32}-b^{\frac32}=\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a+b+\sqrt{ab}\right).$$

   Следовательно,

   $$a^{1,5}-b^{1,5}=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$$

3. $$m^{0,6}-8n^{1,8}=m^{\frac35}-2^3n^{\frac95}=\left(m^{\frac15}-2n^{\frac35}\right)\left(m^{\frac25}+2m^{\frac15}n^{\frac35}+4n^{\frac65}\right).$$

   Итак,

   $$m^{0,6}-8n^{1,8}=\left(\sqrt[5]{m}-2\sqrt[5]{n^3}\right)\left(\sqrt[5]{m^2}+2\sqrt[5]{mn^3}+4\sqrt[5]{n^6}\right).$$

4. $$x^{\frac67}-6=x^{\frac67}-6^{\frac13}=\left(x^{\frac27}-6^{\frac13}\right)\left(x^{\frac47}+x^{\frac27}6^{\frac13}+6^{\frac23}\right).$$

   Следовательно,

   $$x^{\frac67}-6=\left(\sqrt[7]{x^2}-\sqrt[3]{6}\right)\left(\sqrt[7]{x^4}+\sqrt[7]{x^2}\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{6^2}\right).$$

Ответ:

1) $$\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right);$$

2) $$\left(\sqrt a-\sqrt b\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right);$$

3) $$\left(\sqrt[5]{m}-2\sqrt[5]{n^3}\right)\left(\sqrt[5]{m^2}+2\sqrt[5]{mn^3}+4\sqrt[5]{n^6}\right);$$

4) $$\left(\sqrt[7]{x^2}-\sqrt[3]{6}\right)\left(\sqrt[7]{x^4}+\sqrt[7]{x^2}\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{6^2}\right).$$