Упр.10.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1. $$a^5-b^5$$;
2. $$x^{\frac{1}{6}}-y^{\frac{1}{6}}$$;
3. $$5-c$$;
4. $$16x^{0,3}-25y^{\frac{2}{9}}$$.

Используем формулу разности квадратов: $$u^2-v^2=(u-v)(u+v).$$

1. $$a^5-b^5=\left(\sqrt{a^5}\right)^2-\left(\sqrt{b^5}\right)^2.$$

   Тогда

   $$a^5-b^5=(\sqrt{a^5}-\sqrt{b^5})(\sqrt{a^5}+\sqrt{b^5}).$$

2. $$x^{\frac16}-y^{\frac16}=\left(x^{\frac1{12}}\right)^2-\left(y^{\frac1{12}}\right)^2.$$

   Следовательно,

   $$x^{\frac16}-y^{\frac16}=\left(x^{\frac1{12}}-y^{\frac1{12}}\right)\left(x^{\frac1{12}}+y^{\frac1{12}}\right).$$

3. $$5-c=\left(\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt c\right)^2.$$

   Значит,

   $$5-c=(\sqrt5-\sqrt c)(\sqrt5+\sqrt c).$$

4. $$16x^{0,3}-25y^{\frac29}=16x^{\frac3{10}}-25y^{\frac29}=\left(4x^{\frac3{20}}\right)^2-\left(5y^{\frac19}\right)^2.$$

   Тогда

   $$16x^{0,3}-25y^{\frac29}=\left(4x^{\frac3{20}}-5y^{\frac19}\right)\left(4x^{\frac3{20}}+5y^{\frac19}\right).$$

Ответ: 1) $$\left(\sqrt{a^5}-\sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5}+\sqrt{b^5}\right);$$ 2) $$\left(x^{\frac1{12}}-y^{\frac1{12}}\right)\left(x^{\frac1{12}}+y^{\frac1{12}}\right);$$ 3) $$\left(\sqrt5-\sqrt c\right)\left(\sqrt5+\sqrt c\right);$$ 4) $$\left(4x^{\frac3{20}}-5y^{\frac19}\right)\left(4x^{\frac3{20}}+5y^{\frac19}\right).$$