Упр.1.42 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: 1) $$f(x)=\sqrt{x+2}$$; 2) $$f(x)=7-x^2$$; 3) $$f(x)=-6$$; 4) $$f(x)=|x|-3$$; 5) $$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$$; 6) $$f(x)=x^2+4x+8$$.

1) $$f(x)=\sqrt{x}+2$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$f(x)=\sqrt{x}+2\ge 2.$$

Ответ: $$E(f)=[2;+\infty).$$

2) $$f(x)=7-x^2$$

Поскольку $$x^2\ge 0,$$ то $$-x^2\le 0,$$ значит

$$7-x^2\le 7.$$

Наименьшего значения функция не имеет.

Ответ: $$E(f)=(-\infty;7].$$

3) $$f(x)=-6$$

Функция постоянная, поэтому принимает только одно значение.

Ответ: $$E(f)=\{-6\}.$$

4) $$f(x)=|x|-3$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то

$$f(x)=|x|-3\ge -3.$$

Ответ: $$E(f)=[-3;+\infty).$$

5) $$f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$$

Выражение имеет смысл, если

$$x-1\ge 0,\qquad 1-x\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 1$$ и $$x\le 1,$$ значит $$x=1.$$

Тогда

$$f(1)=\sqrt{1-1}+\sqrt{1-1}=0.$$

Ответ: $$E(f)=\{0\}.$$

6) $$f(x)=x^2+4x+8$$

Приведём к виду полного квадрата:

$$x^2+4x+8=(x+2)^2+4.$$

Так как $$(x+2)^2\ge 0,$$ то

$$f(x)\ge 4.$$

Ответ: $$E(f)=[4;+\infty).$$