Упр.1.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Существует ли функция, определённая на множестве $$R$$, которая одновременно является: 1) нечётной и возрастающей; 2) нечётной и убывающей; 3) чётной и возрастающей?

1) Да, может. Например, функция $$f(x)=x$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$, является нечётной, так как $$f(-x)=-x=-f(x),$$ и возрастает на всей области определения.

2) Да, может. Например, функция $$f(x)=-x$$ определена на множестве $$\mathbb{R}$$, является нечётной, так как $$f(-x)=x=-f(x),$$ и убывает на всей области определения.

3) Нет, не может. Если функция чётная, то из $$x_2>x_1$$ следует $$-x_2<-x_1$$, а для возрастающей функции должно быть $$f(-x_2)<f(-x_1).$$ Но по чётности $$f(-x_2)=f(x_2)$$ и $$f(-x_1)=f(x_1),$$ значит, получаем $$f(x_2)<f(x_1),$$ что противоречит возрастанию.

Ответ: 1) может; 2) может; 3) не может.