Упр.1.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Областью определения чётной функции $$f$$ и нечётной функции $$g$$ является множество $$M$$. Исследуйте на чётность функцию:

1. $$y=f(x)+g(x)$$;
2. $$y=f(x)-g(x)$$;
3. $$y=f(x)\cdot g(x)$$.

Пусть область определения функций $$f$$ и $$g$$ — множество $$M$$. Так как $$f$$ — чётная, а $$g$$ — нечётная, то

$$f(-x)=f(x), \qquad g(-x)=-g(x).$$

Поскольку область определения симметрична относительно нуля, исследуем каждую функцию.

1. $$y=f(x)+g(x).$$

   Тогда

   $$y(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x).$$

   Это не совпадает ни с $$y(x)=f(x)+g(x)$$, ни с $$-y(x)=-f(x)-g(x)$$. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

2. $$y=f(x)-g(x).$$

   Тогда

   $$y(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x).$$

   Это не совпадает ни с $$y(x)=f(x)-g(x)$$, ни с $$-y(x)=-f(x)+g(x)$$. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

3. $$y=f(x)\cdot g(x).$$

   Тогда

   $$y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot(-g(x))=-f(x)g(x)=-y(x).$$

   Следовательно, функция нечётная.

Ответ: 1) ни чётная, ни нечётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) нечётная.