Упр.1.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Областью определения чётных функций $$f$$ и $$g$$ является множество $$M$$. Исследуйте на чётность функцию: 1) $$y=f(x)+g(x)$$; 2) $$y=f(x)-g(x)$$; 3) $$y=f(x)\cdot g(x)$$.

Так как функции $$f$$ и $$g$$ чётные, то для любого $$x \in M$$ выполняется

$$f(-x)=f(x), \qquad g(-x)=g(x).$$

Область определения каждой из рассматриваемых функций симметрична относительно нуля, так как $$M$$ — область определения чётных функций.

1) $$y=f(x)+g(x)$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=y(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)+g(x)$$ чётная.

2) $$y=f(x)-g(x)$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=f(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=y(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)-g(x)$$ чётная.

3) $$y=f(x)\cdot g(x)$$

Проверим чётность:

$$y(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)=y(x).$$

Следовательно, функция $$y=f(x)\cdot g(x)$$ чётная.

Ответ: 1) чётная; 2) чётная; 3) чётная.