Упр.1.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Сумма двух чисел равна $$8$$. Найдите:

1. какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;
2. какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — данные числа. Тогда

$$x+y=8,$$

значит, $$y=8-x.$$

Ход решения

1) Найдём наибольшее значение произведения:

$$P=xy=x(8-x)=8x-x^2.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-1)}=4.$$

Тогда

$$P_{\max}=P(4)=8\cdot4-4^2=32-16=16.$$

2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов:

$$S=x^2+y^2=x^2+(8-x)^2.$$

Раскроем скобки:

$$S=x^2+64-16x+x^2=2x^2-16x+64.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, значит, наименьшее значение достигается в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-16}{2\cdot2}=4.$$

Тогда

$$S_{\min}=S(4)=2\cdot4^2-16\cdot4+64=32.$$

Ответ

1) $$16$$; 2) $$32$$.