Упр.1.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Исследуйте на чётность функцию: 1) $$f(x)=\frac{x}{x}$$; 3) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-1}$$; 5) $$f(x)=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$; 2) $$f(x)=\frac{x-1}{x-1}$$; 4) $$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$; 6) $$f(x)=\frac{x^3-x^2}{x^3-x}$$.

1) $$f(x)=\frac{x}{x}$$

Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac{-x}{-x}=\frac{x}{x}=f(x).$$

Функция чётная.

2) $$f(x)=\frac{x-1}{x-1}$$

Область определения: $$x\ne 1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Функция ни чётная, ни нечётная.

3) $$f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-1}$$

Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$ Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

Проверим:

$$f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2-1}{x^2-1}=f(x).$$

Функция чётная.

4) $$f(x)=\sqrt{x^2-1}$$

Область определения: $$x^2-1\ge 0,$$ то есть $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$ Значит,

$$D(f)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

Проверим:

$$f(-x)=\sqrt{(-x)^2-1}=\sqrt{x^2-1}=f(x).$$

Функция чётная.

5) $$f(x)=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$$

Для существования функции нужно:

$$x-1\ge 0,\qquad x+1\ge 0.$$

Отсюда $$x\ge 1,$$ значит

$$D(f)=[1;+\infty).$$

Область определения несимметрична, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.

Функция ни чётная, ни нечётная.

6) $$f(x)=\frac{x^3-x^2}{x^3-x}$$

Область определения: $$x^3-x\ne 0,$$ то есть

$$x(x^2-1)\ne 0,\qquad x(x-1)(x+1)\ne 0.$$

Следовательно, $$x\ne -1,\;0,\;1,$$ и

$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$

Проверим:

$$f(-x)=\frac{(-x)^3-(-x)^2}{(-x)^3-(-x)}=\frac{-x^3-x^2}{-x^3+x}=\frac{x^3+x^2}{x^3-x}.$$

Это не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x),$$ значит функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ:

1) чётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) чётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) ни чётная, ни нечётная.