Упр.1.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Докажите, что функция является нечётной:
- а) $$f(x)=x-\frac{1}{x}$$;
б) $$f(x)=(x^3+x)(x^4-x^2)$$;
в) $$g(x)=\frac{|x|}{x}$$;
г) $$g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x-\frac{1}{x}.$$
Область определения: $$x\neq 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим значение функции при $$-x$$:
$$f(-x)=(-x)-\frac{1}{-x}=-x+\frac{1}{x}=-(x-\frac{1}{x})=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=(x^3+x)(x^4-x^2).$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём $$f(-x)$$:
$$f(-x)=\bigl((-x)^3+(-x)\bigr)\bigl((-x)^4-(-x)^2\bigr)=(-x^3-x)(x^4-x^2).$$
Тогда
$$f(-x)=-(x^3+x)(x^4-x^2)=-f(x).$$
Значит, функция нечётная.
3) Рассмотрим функцию $$g(x)=\frac{|x|}{x}.$$
Область определения: $$x\neq 0,$$ то есть $$D(g)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Проверим:
$$g(-x)=\frac{|-x|}{-x}=\frac{|x|}{-x}=-\frac{|x|}{x}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
4) Рассмотрим функцию $$g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}.$$
Область определения: $$x^4-1\neq 0,$$ значит $$x\neq \pm 1,$$ и
$$D(g)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$
Найдём $$g(-x)$$:
$$g(-x)=\frac{|4(-x)-1|-|4(-x)+1|}{(-x)^4-1}=\frac{|-4x-1|-|-4x+1|}{x^4-1}.$$
Так как $$|-4x-1|=|4x+1|$$ и $$|-4x+1|=|4x-1|,$$ получаем
$$g(-x)=\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^4-1}=-\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}=-g(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
Ответ: все четыре функции нечётные.
