Упр.77 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область определения функции:

а) $$y=\frac{x-2}{x^2+2x-8}$$;

б) $$y=\frac{x^2}{x^4-1}$$;

в) $$y=\frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$$;

г) $$y=\frac{x}{3x^2-5x+4}$$.

Область определения дробной функции — все значения $$x$$, при которых знаменатель не равен нулю.

1. $$y=\frac{x-2}{x^2+2x-8}$$

   Требуем:

   $$x^2+2x-8\ne 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$$

   Тогда:

   $$x\ne -4,\quad x\ne 2$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;-4)\cup(-4;2)\cup(2;+\infty).$$

2. $$y=\frac{x^2}{x^4-1}$$

   Требуем:

   $$x^4-1\ne 0$$

   $$x^4\ne 1,\quad x^2\ne 1,\quad x\ne \pm 1$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

3. $$y=\frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$$

   Требуем:

   $$x^4-9x^2+20\ne 0$$

   Положим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t^2-9t+20=0$$

   $$t_1=4,\quad t_2=5$$

   Отсюда:

   $$x^2\ne 4,\quad x^2\ne 5$$

   $$x\ne \pm 2,\quad x\ne \pm \sqrt{5}$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;-\sqrt{5})\cup(-\sqrt{5};-2)\cup(-2;2)\cup(2;\sqrt{5})\cup(\sqrt{5};+\infty).$$

4. $$y=\frac{x}{3x^2-5x+4}$$

   Требуем:

   $$3x^2-5x+4\ne 0$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 4=25-48=-23<0$$

   Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, значит, знаменатель никогда не обращается в нуль.

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-4)\cup(-4;2)\cup(2;+\infty)$$;
б) $$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$;
в) $$(-\infty;-\sqrt{5})\cup(-\sqrt{5};-2)\cup(-2;2)\cup(2;\sqrt{5})\cup(\sqrt{5};+\infty)$$;
г) $$(-\infty;+\infty)$$.