Упр.32 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2-\left(a-d\right)^2$$, если известно, что числа $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

Пусть $$a,\ b,\ c,\ d$$ — члены геометрической прогрессии. Тогда существует число $$q$$, такое что

$$b=aq,\quad c=aq^2,\quad d=aq^3.$$

Рассмотрим выражение

$$S=(a-c)^2+(b-c)^2+(b-d)^2-(a-d)^2.$$

Подставим значения:

$$\begin{aligned} S&=(a-aq^2)^2+(aq-aq^2)^2+(aq-aq^3)^2-(a-aq^3)^2\\ &=a^2(1-q^2)^2+a^2q^2(1-q)^2+a^2q^2(1-q^2)^2-a^2(1-q^3)^2. \end{aligned}$$

Вынесем общий множитель $$a^2$$:

$$S=a^2\Bigl((1-q^2)^2+q^2(1-q)^2+q^2(1-q^2)^2-(1-q^3)^2\Bigr).$$

Раскроем скобки:

$$\begin{aligned} (1-q^2)^2&=1-2q^2+q^4,\\ q^2(1-q)^2&=q^2-2q^3+q^4,\\ q^2(1-q^2)^2&=q^2-2q^4+q^6,\\ (1-q^3)^2&=1-2q^3+q^6. \end{aligned}$$

Тогда

$$\begin{aligned} S&=a^2\Bigl((1-2q^2+q^4)+(q^2-2q^3+q^4)+(q^2-2q^4+q^6)-(1-2q^3+q^6)\Bigr)\\ &=a^2(0)=0. \end{aligned}$$

Ответ: $$0$$