Упр.281 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите пары чисел $$a$$ и $$b$$, при которых функция $$f(x)=a\sin(?x)+b$$ удовлетворяет условиям: $$f'(2)=2$$, $$\int_0^2 f(x)\,dx=4$$.

Пусть

$$f(x)=a\sin \pi x+b.$$

Тогда

$$f'(x)=a\pi \cos \pi x.$$

Из первого условия получаем:

$$f'(2)=2,$$

$$a\pi \cos 2\pi=2,$$

$$a\pi=2,$$

$$a=\frac{2}{\pi}.$$

Теперь используем второе условие:

$$\int_0^2 f(x)\,dx=4.$$

Подставим найденное значение $$a$$:

$$\int_0^2 \left(\frac{2}{\pi}\sin \pi x+b\right)dx=4.$$

Вычислим интеграл:

$$\int_0^2 \frac{2}{\pi}\sin \pi x\,dx+\int_0^2 b\,dx=4,$$

$$\left[-\frac{2}{\pi^2}\cos \pi x+bx\right]_0^2=4.$$

Тогда

$$\left(-\frac{2}{\pi^2}\cos 2\pi+2b\right)-\left(-\frac{2}{\pi^2}\cos 0\right)=4,$$

$$-\frac{2}{\pi^2}+2b+\frac{2}{\pi^2}=4,$$

$$2b=4,$$

$$b=2.$$

Ответ: $$a=\frac{2}{\pi},\ b=2.$$