Упр.279 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

В каком отношении делится площадь квадрата параболой, проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине?

Пусть сторона квадрата равна $$2a.$$ Тогда уравнение параболы можно записать в виде

$$y=kx^2.$$

Так как парабола проходит через точку $$\left(a,\,2a\right),$$ получаем

$$2a=ka^2,\qquad k=\frac{2}{a}.$$

Следовательно,

$$y=\frac{2}{a}x^2.$$

Найдём площадь верхней части фигуры:

$$S_1=\int\limits_{-a}^{a}\left(2a-\frac{2}{a}x^2\right)\,dx =\left(2ax-\frac{2x^3}{3a}\right)\Bigg|_{-a}^{a}.$$

Тогда

$$S_1=\left(2a^2-\frac{2a^2}{3}\right)-\left(-2a^2+\frac{2a^2}{3}\right) =\frac{8a^2}{3}.$$

Площадь квадрата равна

$$S=4a^2.$$

Тогда площадь нижней части:

$$S_2=S-S_1=4a^2-\frac{8a^2}{3}=\frac{4a^2}{3}.$$

Искомое отношение площадей:

$$S_1:S_2=\frac{8a^2}{3}:\frac{4a^2}{3}=2:1.$$

Ответ: $$2:1$$.