Упр.269 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Для функции $$f$$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
   а) $$f(x)=\frac{2}{x}$$, $$M\left(\frac{1}{e};\,2\right)$$;
   б) $$f(x)=x^{-2}+\cos(x)$$, $$M\left(\frac{?}{2};\,-\frac{2}{?}\right)$$;
   в) $$f(x)=x^{-4}$$, $$M(2;\,-3)$$;
   г) $$f(x)=\sin(2x)$$, $$M(0;\,1)$$.

Найдём первообразную $$F(x)$$ и подберём постоянную $$C$$ из условия прохождения графика через точку $$M$$.

1. $$f(x)=\frac{2}{x}, \quad M\left(\frac{1}{e};\,2\right)$$

   $$F(x)=\int \frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|+C$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$2\ln\left|\frac{1}{e}\right|+C=2$$

   $$2(-1)+C=2,\quad C=4$$

   $$F(x)=2\ln|x|+4$$

2. $$f(x)=x^{-2}+\cos x, \quad M\left(\frac{\pi}{2};\,-\frac{2}{\pi}\right)$$

   $$F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx=-\frac{1}{x}+\sin x+C$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-\frac{1}{\pi/2}+\sin\frac{\pi}{2}+C=-\frac{2}{\pi}$$

   $$-\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi},\quad C=-1$$

   $$F(x)=-\frac{1}{x}+\sin x-1$$

3. $$f(x)=x^{-4}, \quad M(2;\,-3)$$

   $$F(x)=\int x^{-4}\,dx=-\frac{1}{3x^3}+C$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-\frac{1}{3\cdot 2^3}+C=-3$$

   $$-\frac{1}{24}+C=-3,\quad C=-3+\frac{1}{24}=-\frac{71}{24}$$

   $$F(x)=-\frac{1}{3x^3}-\frac{71}{24}$$

4. $$f(x)=\sin 2x, \quad M(0;\,1)$$

   $$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$

   Подставим точку $$M$$:

   $$-\frac{1}{2}\cos 0+C=1$$

   $$-\frac{1}{2}+C=1,\quad C=\frac{3}{2}$$

   $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{3}{2}$$

Ответ: а) $$2\ln|x|+4$$; б) $$-\dfrac{1}{x}+\sin x-1$$; в) $$-\dfrac{1}{3x^3}-\dfrac{71}{24}$$; г) $$-\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{3}{2}$$.