Упр.229 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите приближенное значение выражения: а) $$\sqrt{9{,}009}$$; б) $$1{,}0001^{15}$$; в) $$0{,}999^{-5}$$; г) $$8{,}008^{\frac{1}{3}}$$.

Используем формулу приближённого значения функции:

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x.$$

а) $$\sqrt{9{,}009}$$

Пусть $$f(x)=\sqrt{x}.$$ Тогда $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

При $$x=9$$ и $$\Delta x=0{,}009$$ получаем:

$$f(9{,}009)\approx f(9)+f'(9)\cdot 0{,}009=3+\frac{0{,}009}{2\cdot 3}=3+\frac{0{,}009}{6}=3{,}0015.$$

б) $$1{,}0001^{15}$$

Пусть $$f(x)=x^{15}.$$ Тогда $$f'(x)=15x^{14}.$$

При $$x=1$$ и $$\Delta x=0{,}0001$$:

$$f(1{,}0001)\approx f(1)+f'(1)\cdot 0{,}0001=1+15\cdot 0{,}0001=1{,}0015.$$

в) $$0{,}999^{-5}$$

Пусть $$f(x)=x^{-5}.$$ Тогда $$f'(x)=-5x^{-6}.$$

При $$x=1$$ и $$\Delta x=-0{,}001$$:

$$f(0{,}999)\approx f(1)+f'(1)\cdot(-0{,}001)=1+(-5)\cdot(-0{,}001)=1{,}005.$$

г) $$\sqrt[3]{8{,}008}$$

Пусть $$f(x)=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

При $$x=8$$ и $$\Delta x=0{,}008$$:

$$f(8{,}008)\approx f(8)+f'(8)\cdot 0{,}008=2+\frac{0{,}008}{3\cdot 4}=2+\frac{0{,}008}{12}\approx 2+0{,}0007=2{,}0007.$$

Ответ: а) $$3{,}0015$$; б) $$1{,}0015$$; в) $$1{,}005$$; г) $$2{,}0007$$.