Упр.223 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнение $$f'(x)=0$$, если: а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$; б) $$f(x)=1{,}5\sin(2x)-5\sin(x)-x$$; в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$; г) $$f(x)=x+\cos(2x)$$.
а) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
$$f'(x)=0 \iff 4x(x-1)(x+1)=0$$
$$x=-1,\;0,\;1$$
б) $$f(x)=1{,}5\sin 2x-5\sin x-x$$
$$f'(x)=3\cos 2x-5\cos x-1$$
$$3(2\cos^2 x-1)-5\cos x-1=0$$
$$6\cos^2 x-5\cos x-4=0$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$6t^2-5t-4=0$$
$$D=25+96=121$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 11}{12}$$
$$t_1=\frac{4}{3},\quad t_2=-\frac{1}{2}$$
Значение $$\frac{4}{3}$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$. Поэтому
$$\cos x=-\frac{1}{2}$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
в) $$f(x)=-\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}-9x$$
$$f'(x)=-x^4+10x^2-9$$
$$f'(x)=0 \iff x^4-10x^2+9=0$$
Пусть $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-10t+9=0$$
$$D=100-36=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=9$$
Следовательно,
$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
$$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$
г) $$f(x)=x+\cos 2x$$
$$f'(x)=1-2\sin 2x$$
$$f'(x)=0 \iff \sin 2x=\frac{1}{2}$$
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
Ответ
а) $$x=-1,\;0,\;1$$; б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$; в) $$x=-3,\,-1,\,1,\,3$$; г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$.
