Упр.195 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите системы уравнений:

а)
$$\begin{cases} y-\log_3 x=1,\\ x^y=3^{12} \end{cases}$$
б)
$$\begin{cases} 3^{1+\log_3(x^2+y^2)}=15,\\ \log_3(x^2-y^2)-\log_3(x-y)=0 \end{cases}$$
в)
$$\begin{cases} \log_5 x+3^{\log_3 y}=7,\\ x^y=5^{12} \end{cases}$$
г)
$$\begin{cases} 5^{1+\log_5(x^2-y^2)}=25,\\ \log_5(x^2-y^2)=\log_5(x+y) \end{cases}$$

Подробный ответ

а) Из первого уравнения получаем
$$y=\log_3 x+1.$$
Подставим во второе:
$$x^y=3^{12}, \qquad x^{\log_3 x+1}=3^{12}.$$
Положим $$z=\log_3 x$$. Тогда $$x=3^z$$, и уравнение примет вид
$$3^{z(z+1)}=3^{12}, \qquad z^2+z-12=0.$$
$$z_1=-4,\quad z_2=3.$$
Тогда
$$x_1=3^{-4}=\frac{1}{81}, \quad y_1=-4+1=-3;$$
$$x_2=3^3=27, \quad y_2=3+1=4.$$
б) Второе уравнение:
$$\log_3(x^2-y^2)-\log_3(x-y)=0,$$
откуда
$$\log_3(x^2-y^2)=\log_3(x-y).$$
Следовательно,
$$x^2-y^2=x-y,$$
$$(x+y)(x-y)=x-y,$$
$$(x-y)(x+y-1)=0.$$
Так как $$x-y>0$$, то $$x-y\neq 0$$, значит
$$x+y-1=0,\qquad y=1-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3^{1+\log_3(x^2+y^2)}=15.$$
В исходном решении это уравнение приводится к
$$x^2+y^2=5.$$
Тогда
$$x^2+(1-x)^2=5,$$
$$2x^2-2x-4=0,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2.$$
Отсюда
$$y_1=2,\quad y_2=-1.$$
в) Из первого уравнения:
$$\log_5 x+3^{\log_3 y}=7,$$
а так как $$3^{\log_3 y}=y,$$ то
$$\log_5 x+y=7,\qquad y=7-\log_5 x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^y=5^{12},$$
$$x^{7-\log_5 x}=5^{12}.$$
Положим $$z=\log_5 x$$. Тогда $$x=5^z$$, и получаем
$$5^{z(7-z)}=5^{12},$$
$$z^2-7z+12=0.$$
$$z_1=3,\quad z_2=4.$$
Следовательно,
$$x_1=5^3=125,\quad y_1=7-3=4;$$
$$x_2=5^4=625,\quad y_2=7-4=3.$$
г) Второе уравнение:
$$\log_5(x^2-y^2)=\log_5(x+y),$$
значит
$$x^2-y^2=x+y.$$
Разложим левую часть на множители:
$$(x-y)(x+y)=x+y,$$
$$(x+y)(x-y-1)=0.$$
Так как $$x+y>0$$, то $$x+y\neq 0$$, значит
$$x-y-1=0,\qquad y=x-1.$$
Подставим в первое уравнение:
$$5^{1+\log_5(x^2-y^2)}=25.$$
Это равносильно
$$5\cdot 5^{\log_5(x^2-y^2)}=25,$$
$$5(x^2-y^2)=25,$$
$$x^2-y^2=5.$$
С учётом $$y=x-1$$:
$$x^2-(x-1)^2=5,$$
$$2x-1=5,$$
$$x=3,\quad y=2.$$