Упр.163 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения: а) $$0{,}2^{x^2-16x-37{,}5}=5\sqrt{5}$$; б) $$2^{x^2-3}\cdot5^{x^2-3}=0{,}01\cdot\left(10^{x-1}\right)^3$$; в) $$2^{x^2-6x+0{,}5}=\frac{1}{16\sqrt{2}}$$; г) $$\frac{6^{x^2}}{2^{-15}}=\frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}$$.

а) $$0{,}2^{x^2-16x-37{,}5}=5\sqrt5.$$

Так как $$0{,}2=\frac15=5^{-1},$$ а $$5\sqrt5=5^{1+\frac12}=5^{1{,}5},$$ получаем

$$5^{-(x^2-16x-37{,}5)}=5^{1{,}5}.$$

Тогда

$$-(x^2-16x-37{,}5)=1{,}5,$$

$$x^2-16x-36=0.$$

$$D=16^2+4\cdot 36=256+144=400.$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 20}{2}.$$

$$x_1=-2,\quad x_2=18.$$

б) $$2^{x^2-3}\cdot 5^{x^2-3}=0{,}01\cdot (10^{x-1})^3.$$

Левая часть:

$$2^{x^2-3}\cdot 5^{x^2-3}=(2\cdot 5)^{x^2-3}=10^{x^2-3}.$$

Правая часть:

$$0{,}01\cdot (10^{x-1})^3=10^{-2}\cdot 10^{3x-3}=10^{3x-5}.$$

Следовательно,

$$10^{x^2-3}=10^{3x-5},$$

$$x^2-3=3x-5,$$

$$x^2-3x+2=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2}.$$

$$x_1=1,\quad x_2=2.$$

в) $$2^{x^2-6x+0{,}5}=\frac1{16\sqrt2}.$$

Правая часть:

$$\frac1{16\sqrt2}=2^{-4}\cdot 2^{-\frac12}=2^{-4{,}5}.$$

Тогда

$$2^{x^2-6x+0{,}5}=2^{-4{,}5},$$

$$x^2-6x+0{,}5=-4{,}5,$$

$$x^2-6x+5=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16.$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

г) $$\frac{6^{x^2}}{2^{-15}}=\frac{3^{-15}}{6^{12-12x}}.$$

Перенесём множители:

$$6^{x^2}\cdot 6^{12-12x}=3^{-15}\cdot 2^{-15}.$$

Так как $$3^{-15}\cdot 2^{-15}=(2\cdot 3)^{-15}=6^{-15},$$ получаем

$$6^{x^2+12-12x}=6^{-15}.$$

Следовательно,

$$x^2-12x+27=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36.$$

$$x_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}.$$

$$x_1=3,\quad x_2=9.$$

Ответ

а) $$-2; \ 18$$; б) $$1; \ 2$$; в) $$1; \ 5$$; г) $$3; \ 9$$.