Упр.155 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Решите уравнения:
- $$\cos(2x)-\cos(6x)=0$$;
- $$\sin(x)+\sin(2x)+\sin(3x)=0$$;
- $$\sin(x)+\sin(3x)=0$$;
- $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)+\sin(x)=2\cos(3x)$$.
а) $$\cos 2x-\cos 6x=0$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$
Тогда
$$\cos 2x-\cos 6x=-2\sin 4x\sin(-2x)=0.$$
Следовательно,
$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
Отсюда
$$4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4},$$
$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
Так как множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{4},$$ окончательно получаем
$$x=\frac{\pi n}{4}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
Сгруппируем первые и третьи слагаемые:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$
Тогда
$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$
$$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$
Отсюда
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n, \qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin x+\sin 3x=0$$
Применим формулу суммы синусов:
$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0.$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \qquad n\in\mathbb Z.$$
Но значения $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi n}{2}.$$ Поэтому
$$x=\frac{\pi n}{2}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)+\sin x=2\cos 3x$$
Преобразуем косинус:
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+5x\right)=-\sin 5x.$$
Тогда
$$-\sin 5x+\sin x=2\cos 3x.$$
Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:
$$\sin x-\sin 5x=2\cos 3x\sin(-2x)=-2\sin 2x\cos 3x.$$
Получаем
$$-2\sin 2x\cos 3x-2\cos 3x=0,$$
$$2\cos 3x(\sin 2x+1)=0.$$
Отсюда
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=-1.$$
1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \qquad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, \qquad n\in\mathbb Z.$$
Итак,
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Ответ: а) $$x=\frac{\pi n}{4}$$; б) $$x=\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$x=\frac{\pi n}{2}$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$ или $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
