Упр.147 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнения:
   а) $$\sqrt{x+17}-\sqrt{x-7}=4$$;
   б) $$12\sqrt{x-1}-(x-1)^{\frac{1}{4}}=3$$;
   в) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$;
   г) $$2(x+1)^{\frac{1}{3}}-(x+1)^{\frac{1}{6}}=6$$.

а) $$\sqrt{x+17}-\sqrt{x-7}=4$$

Перенесём один корень вправо и возведём в квадрат:

$$\sqrt{x+17}=4+\sqrt{x-7}$$

$$x+17=16+8\sqrt{x-7}+x-7$$

$$8\sqrt{x-7}=8$$

$$\sqrt{x-7}=1$$

$$x-7=1,\quad x=8$$

Проверка области определения:

$$x+17\ge 0,\quad x-7\ge 0$$

$$x\ge -17,\quad x\ge 7$$

Значение $$x=8$$ подходит.

Ответ: $$8$$.

б) $$2\sqrt{x-1}+\sqrt[4]{x-1}=3$$

Пусть $$y=\sqrt[4]{x-1}$$, тогда $$\sqrt{x-1}=y^2$$. Получаем:

$$2y^2+y=3$$

$$2y^2+y-3=0$$

$$D=1+24=25$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}$$

$$y_1=1,\quad y_2=-\frac{3}{2}$$

Так как $$y=\sqrt[4]{x-1}\ge 0$$, подходит только $$y=1$$.

$$\sqrt[4]{x-1}=1$$

$$x-1=1,\quad x=2$$

Ответ: $$2$$.

в) $$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$

Возведём в квадрат:

$$x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81$$

$$2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x$$

$$\sqrt{x^2+5x-14}=38-x$$

Снова возведём в квадрат:

$$x^2+5x-14=(38-x)^2$$

$$x^2+5x-14=1444-76x+x^2$$

$$81x=1458$$

$$x=18$$

Проверим область определения:

$$x+7\ge 0,\quad x-2\ge 0,\quad 38-x\ge 0$$

$$x\ge -7,\quad x\ge 2,\quad x\le 38$$

Значение $$x=18$$ подходит.

Ответ: $$18$$.

г) $$2\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[6]{x+1}=6$$

Пусть $$y=\sqrt[6]{x+1}$$, тогда $$\sqrt[3]{x+1}=y^2$$. Получаем:

$$2y^2-y=6$$

$$2y^2-y-6=0$$

$$D=1+48=49$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}$$

$$y_1=-\frac{3}{2},\quad y_2=2$$

Так как $$y=\sqrt[6]{x+1}\ge 0$$, подходит только $$y=2$$.

$$\sqrt[6]{x+1}=2$$

$$x+1=64,\quad x=63$$

Ответ: $$63$$.