Упр.144 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$(x-1)(x+2)(x-3)(x-4)?0$$; б) $$x^4-3x^2+2?0$$; в) $$\frac{4-x}{x-5}>\frac{1}{1-x}$$; г) $$1+\frac{12}{x^2}<\frac{7}{x}$$.

а) $$(x-1)(x+2)(x-3)(x-4)\le 0$$

Перенесём множители в удобном порядке:

$$(x+2)(x-1)(x-3)(x-4)\le 0$$

Нули выражения: $$x=-2,\;1,\;3,\;4.$$

Знак произведения меняется в каждой точке разрыва, поэтому получаем:

$$x\in[-2;1]\cup[3;4].$$

б) $$x^4-3x^2+2\le 0$$

Сделаем замену: $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2-3t+2\le 0$$

$$(t-1)(t-2)\le 0$$

Отсюда

$$1\le t\le 2.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$1\le x^2\le 2.$$

Значит,

$$x\in[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2].$$

в) $$\frac{4-x}{x-5}>\frac1{1-x}$$

Перенесём всё в одну дробь:

$$\frac{(4-x)(1-x)-(x-5)}{(x-5)(1-x)}>0$$

Упростим числитель:

$$(4-x)(1-x)-(x-5)=4-4x-x+x^2-x+5=x^2-6x+9=(x-3)^2.$$

Тогда

$$\frac{(x-3)^2}{(x-5)(x-1)}<0.$$

Числитель неотрицателен и равен нулю только при $$x=3$$, поэтому дробь отрицательна, когда знаменатель отрицателен:

$$1<x<5,\quad x\ne 3.$$

Следовательно,

$$x\in(1;3)\cup(3;5).$$

г) $$1+\frac{12}{x^2}<\frac7x$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x^2-7x+12}{x^2}<0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Получаем

$$\frac{(x-3)(x-4)}{x^2}<0.$$

Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, нужно, чтобы

$$(x-3)(x-4)<0.$$

Отсюда

$$3<x<4.$$

Ответ: а) $$[-2;1]\cup[3;4]$$; б) $$[-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2]$$; в) $$(1;3)\cup(3;5)$$; г) $$(3;4).$$