Упр.135 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенства: а) $$\frac{|2x-3|}{x}>0$$; б) $$\frac{x+2}{|x+4|}?0$$; в) $$(x-4)|5-3x|<0$$; г) $$|2x+7|(3-x)?0$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\frac{|2x-3|}{x}>0$$

   Дробь положительна, когда числитель положителен и знаменатель положителен. Так как $$|2x-3|>0$$ при $$2x-3\ne 0,$$ получаем:

   $$x>0,\quad x\ne \frac32.$$

   Значит,

   Ответ: $$\left(0;\frac32\right)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$

2. $$\frac{x+2}{|x+4|}\le 0$$

   Знаменатель не равен нулю при $$x\ne -4,$$ а так как $$|x+4|>0$$ при $$x\ne -4,$$ знак дроби определяется числителем. Тогда

   $$x+2\le 0,\quad x\le -2.$$

   С учётом области определения $$x\ne -4$$ получаем:

   Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(-4;-2].$$

3. $$\left(x-4\right)|5-3x|<0$$

   Так как $$|5-3x|\ge 0,$$ произведение будет отрицательным только при

   $$x-4<0,\quad |5-3x|>0.$$

   Отсюда

   $$x<4,\quad 5-3x\ne 0,\quad x\ne \frac53.$$

   Итак,

   Ответ: $$(-\infty;\frac53)\cup\left(\frac53;4\right).$$

4. $$|2x+7|(3-x)\le 0$$

   Так как $$|2x+7|\ge 0,$$ произведение не положительно, если

   $$3-x\le 0$$

   или

   $$|2x+7|=0.$$

   Из первого получаем $$x\ge 3,$$ из второго — $$x=-\frac72.$$ Но $$-\frac72<3,$$ поэтому это значение не входит в найденный промежуток.

   Ответ: $$[3;+\infty).$$