Упр.129 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что:

1. функция $$f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1}$$ убывает на множестве $$\mathbb{R}$$;
2. функция $$f(x)=\log_{2}(3x)$$ возрастает на промежутке $$(0; ?)$$.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}\ln\frac13.$$

Так как $$0<\frac13<1,$$ то $$\ln\frac13<0,$$ а $$\left(\frac13\right)^{x+1}>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$ Следовательно,

$$f'(x)<0 \quad \text{при всех } x\in\mathbb{R}.$$

Значит, функция $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$ убывает на множестве $$\mathbb{R}.$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\log_2(3x).$$

Область определения: $$3x>0,$$ то есть $$x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{3}{3x\ln 2}=\frac{1}{x\ln 2}.$$

Так как $$x>0$$ и $$\ln 2>0,$$ то

$$f'(x)>0 \quad \text{при всех } x>0.$$

Следовательно, функция $$f(x)=\log_2(3x)$$ возрастает на промежутке $$\left(0;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$f(x)=\left(\frac13\right)^{x+1}$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$
б) $$f(x)=\log_2(3x)$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$