Упр.127 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что равны наибольшие значения функций $$y=(\log(2;3))^{\sin x}$$ и $$y=(\log(3;2))^{\cos x}$$.

Рассмотрим первую функцию:

$$y=(\log_2 3)^{\sin x}.$$

Так как $$3>2,$$ то $$\log_2 3>1.$$ Кроме того,

$$-1\le \sin x\le 1.$$

При основании, большем 1, наибольшее значение степени достигается при наибольшем показателе, то есть при $$\sin x=1.$$ Тогда

$$y_{\max}=(\log_2 3)^1=\log_2 3.$$

Теперь рассмотрим вторую функцию:

$$y=(\log_3 2)^{\cos x}.$$

Так как $$2<3,$$ то $$\log_3 2<1,$$ а значит

$$\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}.$$

Также

$$-1\le \cos x\le 1.$$

При основании, меньшем 1, наибольшее значение функции достигается при наименьшем показателе, то есть при $$\cos x=-1.$$ Тогда

$$y_{\max}=(\log_3 2)^{-1}=\frac{1}{\log_3 2}=\log_2 3.$$

Следовательно, наибольшие значения обеих функций равны.

Ответ: $$\log_2 3.$$