Упр.119 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите среди данных функций четные и нечетные: а) $$y=5^x+5^{-x}$$; б) $$y=\lg(1-x^2)$$; в) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}$$; г) $$y=xx^{1/3}$$.

Исследуем функции на чётность.

1. $$y=5^x+5^{-x}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=5^{-x}+5^x=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

2. $$y=\lg(1-x^2)$$

   Область определения задаётся условием:

   $$1-x^2>0,\quad x^2<1,\quad |x|<1.$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\lg(1-(-x)^2)=\lg(1-x^2)=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

3. $$y=\left(\frac12\right)^{2x}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=\left(\frac12\right)^{-2x}=2^{2x}=4^x,$$

   то есть $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x).$$

   Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. $$y=x\sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим:

   $$y(-x)=(-x)\sqrt[3]{-x}=-x\cdot(-\sqrt[3]{x})=x\sqrt[3]{x}=y(x).$$

   Следовательно, функция чётная.

Ответ: а), б), г) — чётные; в) — ни чётная, ни нечётная.