Упр.560 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Используем формулу приближённого вычисления корня:

$$\sqrt[n]{a+b}\approx \sqrt[n]{a}\left(1+\frac{b}{n a}\right),$$

где $$a$$ — ближайшая степень числа, а $$b$$ — небольшая добавка.

1. $$\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{27-3}=\sqrt[3]{27\left(1-\frac{1}{9}\right)}=3\sqrt[3]{1-\frac{1}{9}}.$$

   Так как $$\sqrt[3]{1+x}\approx 1+\frac{x}{3},$$ то

   $$\sqrt[3]{24}\approx 3\left(1-\frac{1}{27}\right)=3-\frac{1}{9}=2\frac{8}{9}.$$

2. $$\sqrt[4]{625\cdot 3}=\sqrt[4]{625\cdot 16\cdot \frac{3}{16}}=\sqrt[4]{625\cdot 16}\cdot \sqrt[4]{\frac{3}{16}}=10\sqrt[4]{1-\frac{13}{16}}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{625\cdot 3}\approx 10\left(1-\frac{13}{16\cdot 4}\right)=10\left(1-\frac{13}{64}\right)=10\cdot \frac{51}{64}=\frac{255}{32}=7\frac{31}{32}.$$

3. $$\sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{3^3\cdot 3}=3\sqrt[3]{3}=3\sqrt[3]{1{,}4^3+0{,}25}.$$

   Приближённо:

   $$\sqrt[3]{81}\approx 3\cdot 1{,}4\left(1+\frac{0{,}25}{3\cdot 1{,}4^3}\right)\approx 4{,}2\cdot 1{,}03=4{,}33.$$

4. $$\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{2^4\cdot 3}=2\sqrt[4]{3}=2\sqrt[4]{1{,}3^4+0{,}14}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[4]{48}\approx 2\cdot 1{,}3\left(1+\frac{0{,}14}{4\cdot 1{,}3^4}\right)\approx 2{,}6\cdot 1{,}01=2{,}63.$$

Ответ: а) $$2\frac{8}{9}$$; б) $$7\frac{31}{32}$$; в) $$4{,}33$$; г) $$2{,}63$$.