Упр.526 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Область определения:

$$x>0,\quad 3-2x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac32.$$

Значит, $$x\in\left(0;\frac32\right).$$

Перейдём к основанию $$2$$:

$$\log_{0,5}x=\frac{\log_2 x}{\log_2 0,5}=-\log_2 x.$$

Тогда

$$-\log_2 x>\log_2(3-2x),$$

$$\log_2 x+\log_2(3-2x)<0,$$

$$\log_2\bigl(x(3-2x)\bigr)<\log_2 1.$$

Так как основание $$2>1$$, получаем

$$x(3-2x)<1,$$

$$2x^2-3x+1>0,$$

$$(2x-1)(x-1)>0.$$

Отсюда $$x<\frac12$$ или $$x>1.$$ С учётом ОДЗ:

$$x\in\left(0;\frac12\right)\cup\left(1;\frac32\right).$$

б) Область определения:

$$x>0,\quad x+1>0 \;\Rightarrow\; x>0.$$

Сложим логарифмы:

$$\log_\pi(x+1)+\log_\pi x=\log_\pi\bigl(x(x+1)\bigr).$$

Тогда

$$\log_\pi\bigl(x(x+1)\bigr)<\log_\pi 2.$$

Так как $$\pi>1$$, имеем

$$x(x+1)<2,$$

$$x^2+x-2<0,$$

$$(x+2)(x-1)<0.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$x\in(0;1).$$

в) Область определения:

$$x>0,\quad x-1>0 \;\Rightarrow\; x>1.$$

Сложим логарифмы:

$$\lg x+\lg(x-1)=\lg\bigl(x(x-1)\bigr).$$

Тогда

$$\lg\bigl(x(x-1)\bigr)<\lg 6.$$

Так как основание $$10>1$$, получаем

$$x(x-1)<6,$$

$$x^2-x-6<0,$$

$$(x-3)(x+2)<0.$$

С учётом $$x>1$$ имеем

$$x\in(1;3).$$

г) Область определения:

$$x^2-x-12>0,$$

$$(x-4)(x+3)>0,$$

$$x\in(-\infty;-3)\cup(4;\infty).$$

Преобразуем неравенство:

$$\log_2(x^2-x-12)<3=\log_2 8.$$

Так как $$2>1$$, то

$$x^2-x-12<8,$$

$$x^2-x-20<0,$$

$$(x-5)(x+4)<0,$$

$$x\in(-4;5).$$

Пересекаем с ОДЗ:

$$x\in(-4;-3)\cup(4;5).$$

Ответ

а) $$\left(0;\frac12\right)\cup\left(1;\frac32\right);$$ б) $$\left(0;1\right);$$ в) $$\left(1;3\right);$$ г) $$(-4;-3)\cup(4;5).$$