Упр.522 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Введём новую неизвестную $$y=\lg x+1.$$ Тогда $$\lg x+5=y+4,$$ и уравнение принимает вид

$$\frac{1}{y}+\frac{6}{y+4}=1.$$

Умножим на $$y(y+4)$$:

$$y+4+6y=y(y+4),$$

$$7y+4=y^2+4y,$$

$$y^2-3y-4=0.$$

$$y_1=-1,\quad y_2=4.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x+1=-1 \Rightarrow \lg x=-2 \Rightarrow x=10^{-2}=\frac{1}{100},$$

$$\lg x+1=4 \Rightarrow \lg x=3 \Rightarrow x=10^3=1000.$$

Ответ: $$\frac{1}{100},\ 1000.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\log_2\frac{x}{4}=\frac{15}{\log_2\frac{x}{8}-1}.$$

Так как $$\log_2\frac{x}{4}=\log_2 x-2,$$ а $$\log_2\frac{x}{8}=\log_2 x-3,$$ получаем

$$\log_2 x-2=\frac{15}{\log_2 x-4}.$$

Введём новую неизвестную $$y=\log_2 x.$$ Тогда

$$y-2=\frac{15}{y-4}.$$

Умножим на $$y-4$$:

$$(y-2)(y-4)=15,$$

$$y^2-6y+8=15,$$

$$y^2-6y-7=0.$$

$$y_1=-1,\quad y_2=7.$$

Тогда

$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{2},$$

$$\log_2 x=7 \Rightarrow x=128.$$

Ответ: $$\frac{1}{2},\ 128.$$

в) Область определения: $$5x-4>0,$$ значит $$x>\frac45.$$

Уравнение

$$\frac{2\lg x}{\lg(5x-4)}=1$$

равносильно

$$2\lg x=\lg(5x-4).$$

Так как $$2\lg x=\lg x^2,$$ получаем

$$\lg x^2=\lg(5x-4).$$

Следовательно,

$$x^2=5x-4,$$

$$x^2-5x+4=0,$$

$$x_1=1,\quad x_2=4.$$

Оба корня удовлетворяют области определения.

Ответ: $$1,\ 4.$$

г) Область определения: $$x>6.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{1}{\lg x-6}+\frac{5}{\lg x+2}=1.$$

Умножим на $$(\lg x-6)(\lg x+2)$$:

$$\lg x+2+5(\lg x-6)=(\lg x-6)(\lg x+2).$$

Раскроем скобки:

$$\lg x+2+5\lg x-30=(\lg x)^2-4\lg x-12,$$

$$6\lg x-28=(\lg x)^2-4\lg x-12,$$

$$(\lg x)^2-10\lg x+16=0.$$

Положим $$y=\lg x$$. Тогда

$$y^2-10y+16=0,$$

$$y_1=2,\quad y_2=8.$$

Следовательно,

$$\lg x=2 \Rightarrow x=100,$$

$$\lg x=8 \Rightarrow x=10^8.$$

Оба значения подходят.

Ответ: $$100,\ 10^8.$$