Упр.516 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\log_3 x>2$$

Область определения: $$x>0.$$

Представим число $$2$$ как логарифм по основанию $$3$$:

$$2=\log_3 3^2=\log_3 9.$$

Тогда

$$\log_3 x>\log_3 9.$$

Так как $$3>1,$$ функция $$\log_3 x$$ возрастает, значит

$$x>9.$$

Следовательно, $$x\in(9;\infty).$$

б) $$\log_{0,5} x>-2$$

Область определения: $$x>0.$$

Запишем число $$-2$$ в виде логарифма по основанию $$0{,}5$$:

$$-2=\log_{0,5} 0,5^{-2}=\log_{0,5} 4.$$

Тогда

$$\log_{0,5} x>\log_{0,5} 4.$$

Так как $$0<0,5<1,$$ функция $$\log_{0,5} x$$ убывает, поэтому знак неравенства меняется:

$$x<4.$$

Следовательно, $$x\in(0;4).$$

в) $$\log_{0,7} x<1$$

Область определения: $$x>0.$$

Представим число $$1$$ как логарифм по основанию $$0{,}7$$:

$$1=\log_{0,7} 0,7^1=\log_{0,7} 0,7.$$

Тогда

$$\log_{0,7} x<\log_{0,7} 0,7.$$

Так как $$0<0,7<1,$$ функция убывает, значит

$$x>0,7.$$

Следовательно, $$x\in(0,7;\infty).$$

г) $$\log_{2,5} x<2$$

Область определения: $$x>0.$$

Запишем число $$2$$ в виде логарифма по основанию $$2{,}5$$:

$$2=\log_{2,5} 2,5^2=\log_{2,5} 6,25.$$

Тогда

$$\log_{2,5} x<\log_{2,5} 6,25.$$

Так как $$2,5>1,$$ функция возрастающая, поэтому

$$x<6,25.$$

Следовательно, $$x\in(0;6,25).$$

Ответ

а) $$x\in(9;\infty);$$ б) $$x\in(0;4);$$ в) $$x\in(0,7;\infty);$$ г) $$x\in(0;6,25).$$