Упр.471 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} 5^{x+y}=125,\\ 4^{(x-y)^2-1}=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5^{x+y}=5^3,\\ 4^{(x-y)^2-1}=4^0 \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} x+y=3,\\ (x-y)^2-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=-1 \end{cases}$$

1) $$\begin{cases}x+y=3,\\x-y=1\end{cases} \Rightarrow 2x=4,\ x=2,\ y=1.$$

2) $$\begin{cases}x+y=3,\\x-y=-1\end{cases} \Rightarrow 2x=2,\ x=1,\ y=2.$$

Ответ: $$(2;1),\ (1;2).$$

б)

$$\begin{cases} x+y=5,\\ 4^x+4^y=80 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$y=5-x$$ и подставим во второе:

$$4^x+4^{5-x}=80.$$

Положим $$t=4^x,\ t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{1024}{t}=80$$

$$t^2-80t+1024=0$$

$$t_1=16,\quad t_2=64.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$4^x=16=4^2 \Rightarrow x=2,\qquad 4^x=64=4^3 \Rightarrow x=3.$$

Тогда

$$y=5-x \Rightarrow y=3 \text{ или } y=2.$$

Ответ: $$(2;3),\ (3;2).$$

в)

$$\begin{cases} 3^x+3^y=12,\\ 6^{x+y}=216 \end{cases}$$

Так как $$216=6^3,$$ то из второго уравнения получаем

$$x+y=3.$$

Из первого уравнения выразим $$y=3-x$$ и подставим:

$$3^x+3^{3-x}=12.$$

Положим $$t=3^x,\ t>0.$$ Тогда

$$t+\frac{27}{t}=12$$

$$t^2-12t+27=0$$

$$t_1=3,\quad t_2=9.$$

Следовательно,

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,\qquad 3^x=9 \Rightarrow x=2.$$

Тогда

$$y=3-x \Rightarrow y=2 \text{ или } y=1.$$

Ответ: $$(1;2),\ (2;1).$$

г)

$$\begin{cases} 4^{x+y}=128,\\ 5^{3x-2y-3}=1 \end{cases}$$

Преобразуем:

$$4^{x+y}=2^7,\qquad 5^{3x-2y-3}=5^0.$$

Тогда

$$\begin{cases} 2(x+y)=7,\\ 3x-2y-3=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+2y=7,\\ 3x-2y=3 \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$5x=10 \Rightarrow x=2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2\cdot 2+2y=7 \Rightarrow 2y=3 \Rightarrow y=\frac{3}{2}.$$

Ответ: $$(2;\frac{3}{2}).$$