Упр.4 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Какую функцию называют непрерывной на промежутке?
- Найдите промежутки непрерывности функции:
а) $$f(x)=\frac{x^3-2x^2-5}{4-x^2}$$;
б) $$f(x)=1-2\operatorname{tg}(x)$$;
в) $$f(x)=\frac{x-4}{x^2-3x-10}$$;
г) $$f(x)=x^4-3x^2+7$$. - Решите неравенство методом интервалов:
а) $$\frac{4}{x+4}+\frac{1}{x+1}>1$$;
б) $$x^4-15x^2-16\ ?\ 0$$;
в) $$\frac{x^2-3x-4}{x-4}\ ?\ 0$$;
г) $$(x-1)(x-2)(x+4)\ ?\ 0$$.
1) Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Сам промежуток при этом называют промежутком непрерывности.
Ход решения
Найдём промежутки непрерывности функций.
а) $$f(x)=\frac{x^3-2x^2-5}{4-x^2}$$
Функция непрерывна всюду, где знаменатель не равен нулю:
$$4-x^2\ne 0,\quad x^2\ne 4,\quad x\ne -2,\; x\ne 2.$$
Значит, промежутки непрерывности:
$$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty).$$
б) $$f(x)=1-2\tg x$$
Функция $$\tg x$$ не определена при
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Следовательно, промежутки непрерывности:
$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$
в) $$f(x)=\frac{x-4}{x^2-3x-10}$$
Найдём нули знаменателя:
$$x^2-3x-10=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 10=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{2},\quad x_1=-2,\; x_2=5.$$
Значит, функция непрерывна на промежутках:
$$(-\infty;-2),\;(-2;5),\;(5;+\infty).$$
г) $$f(x)=x^4-3x^2+7$$
Это многочлен, а многочлены непрерывны при всех $$x\in\mathbb{R}$$.
Следовательно, промежуток непрерывности:
$$(-\infty;+\infty).$$
Решим неравенства методом интервалов.
а) $$\frac{4}{x+4}+\frac{1}{x+1}>1$$
ОДЗ: $$x\ne -4,\quad x\ne -1.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{4(x+1)+(x+4)-(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)}>0,$$
$$\frac{4x+4+x+4-x^2-5x-4}{(x+4)(x+1)}>0,$$
$$\frac{4-x^2}{(x+4)(x+1)}>0,$$
$$\frac{(x+2)(x-2)}{(x+4)(x+1)}<0.$$
По методу интервалов получаем:
$$x\in(-4;-2)\cup(-1;2).$$
б) $$x^4-15x^2-16\le 0$$
Положим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-15t-16\le 0,$$
$$D=15^2+4\cdot 16=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{15\pm 17}{2},\quad t_1=-1,\; t_2=16.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ то
$$0\le x^2\le 16,$$
откуда
$$x\in[-4;4].$$
в) $$\frac{x^2-3x-4}{x-4}\le 0$$
ОДЗ: $$x\ne 4.$$
Разложим числитель на множители:
$$\frac{(x+1)(x-4)}{x-4}\le 0.$$
При $$x\ne 4$$ получаем:
$$x+1\le 0,$$
то есть
$$x\in(-\infty;-1].$$
г) $$(x-1)(x-2)(x+4)\ge 0$$
Нули выражения: $$x=-4,\;1,\;2.$$
По методу интервалов:
$$x\in[-4;1]\cup[2;+\infty).$$
Ответ
2) а) $$(-\infty;-2),\;(-2;2),\;(2;+\infty)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\; n\in\mathbb{Z}$$; в) $$(-\infty;-2),\;(-2;5),\;(5;+\infty)$$; г) $$(-\infty;+\infty)$$.
3) а) $$(-4;-2)\cup(-1;2)$$; б) $$[-4;4]$$; в) $$(-\infty;-1]$$; г) $$[-4;1]\cup[2;+\infty)$$.
