Упр.321 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$AO=x$$ км, где $$0\le x\le 5$$. Тогда расстояние от лодки до точки высадки на берегу равно

$$PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=\sqrt{3^2+x^2}=\sqrt{9+x^2}.$$

Пассажир затратит на путь до села $$B$$ время

$$t(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}{4}+\frac{5-x}{5}.$$

Найдём производную:

$$t'(x)=\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15.$$

Приравняем её к нулю:

$$\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}}-\frac15=0,$$

$$\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}=\frac45,$$

$$25x^2=16(9+x^2),$$

$$25x^2=144+16x^2,$$

$$9x^2=144,$$

$$x^2=16,\quad x=4.$$

Проверим значения времени в критической точке и на концах отрезка $$[0;5]$$:

$$t(0)=\frac{\sqrt{9}}{4}+\frac{5}{5}=\frac34+1=\frac74,$$

$$t(4)=\frac{\sqrt{25}}{4}+\frac{1}{5}=\frac54+\frac15=\frac{29}{20},$$

$$t(5)=\frac{\sqrt{34}}{4}.$$

Наименьшее время получается при $$x=4$$.

Ответ: лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся в $$4$$ км от ближайшей к ней точки $$A$$.