Упр.315 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

10-11

Пусть первым положительным числом будет $$x,$$ тогда второе число равно $$\frac{16}{x}.$$

Сумма квадратов этих чисел:

$$f(x)=x^2+\left(\frac{16}{x}\right)^2=x^2+\frac{256}{x^2}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-\frac{512}{x^3}=\frac{2x^4-512}{x^3}=\frac{2(x^4-256)}{x^3}=\frac{2(x-4)(x+4)(x^2+16)}{x^3}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{2(x-4)(x+4)(x^2+16)}{x^3}=0.$$

Так как $$x>0,$$ то из уравнения получаем единственную критическую точку $$x=4.$$

Следовательно, наименьшая сумма квадратов будет при числах $$4$$ и $$\frac{16}{4}=4.$$

Проверка:

$$4\cdot 4=16.$$

Ответ: $$4$$ и $$4.$$