Упр.259 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдём углы, под которыми графики пересекают ось $$Ox$$. Для этого сначала находим точки пересечения с осью абсцисс, затем вычисляем производную и значение углового коэффициента касательной $$k=f'(x)$$ в этих точках. Угол наклона касательной определяется из равенства $$\tan \alpha = k$$.
а) $$f(x)=3x-x^3$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения
$$3x-x^3=0$$
$$x(3-x^2)=0$$
$$x=0,\quad x=\pm \sqrt{3}.$$
Производная:
$$f'(x)=3-3x^2.$$
Тогда
$$f'(0)=3,\quad f'(\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6,\quad f'(-\sqrt{3})=3-3\cdot 3=-6.$$
Следовательно, углы пересечения:
$$\alpha_1=\arctan 3,\quad \alpha_2=\arctan(-6)=-\arctan 6,\quad \alpha_3=\arctan(-6)=-\arctan 6.$$
б) $$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0,$$
откуда
$$x+\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Производная:
$$f'(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$
В точках пересечения
$$f'(x)=\cos(\pi n)=(-1)^n,$$
то есть возможны значения $$1$$ и $$-1$$. Тогда
$$\alpha_1=\arctan 1=\frac{\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$
в) $$f(x)=x^2-3x+2$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0,$$
$$x=1,\quad x=2.$$
Производная:
$$f'(x)=2x-3.$$
Тогда
$$f'(1)=-1,\quad f'(2)=1.$$
Следовательно,
$$\alpha_1=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$
г) $$f(x)=-\cos x$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$ найдём из уравнения
$$-\cos x=0,$$
откуда
$$\cos x=0,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Производная:
$$f'(x)=\sin x.$$
В точках пересечения
$$f'(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n,$$
то есть углы пересечения равны
$$\alpha_1=\arctan 1=\frac{\pi}{4},\quad \alpha_2=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$
Ответ
а) $$\alpha=\arctan 3,\ -\arctan 6.$$
б) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4}.$$
в) $$\alpha=-\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4}.$$
г) $$\alpha=\frac{\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4}.$$
