Упр.96 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:
   а) $$v(x+y)?v|x|$$;
   б) $$|x|-|y|в) $$[x]?[y]$$;
   г) $${x}?{y}$$;
   д) $$\frac{1}{x}>\frac{1}{y}$$;
   е) $$\sin(x)>\sin(y)$$;
   ж) $$\min(x;y)=1$$;
   з) $$xy+1?0$$.

а) $$\sqrt{x+y}\ge \sqrt{|x|}.$$

Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$$x+y\ge |x|.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем $$y\ge 0.$$

2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем $$x+y\ge -x,$$ то есть $$y\ge -2x.$$

Итак, множество точек задаётся условиями:

$$x\ge 0,\ y\ge 0; \qquad x<0,\ y\ge -2x.$$

б) $$|x|-|y|<a.$$

Перепишем неравенство как

$$|y|>|x|-a.$$

Граница области определяется прямыми

$$y=x-a,\qquad y=-x+a,\qquad y=x+a,\qquad y=-x-a,$$

а сама область состоит из всех точек, для которых выполняется $$|x|-|y|<a.$$

в) $$[x]\le [y].$$

Здесь $$[x]$$ и $$[y]$$ — целые части чисел. Неравенство $$[x]\le [y]$$ означает, что целая часть числа $$x$$ не превосходит целой части числа $$y$$. На координатной плоскости это множество точек, лежащих по одну сторону от ступенчатой границы $$y=x$$ с учётом целых полос:

$$x\in [n,n+1),\ y\in [m,m+1),\quad n\le m.$$

г) $$\{x\}\ge \{y\}.$$

Здесь $$\{x\}$$ и $$\{y\}$$ — дробные части чисел. Тогда

$$\{x\}\ge \{y\}$$

задаёт ступенчатую область, состоящую из точек, для которых дробная часть $$x$$ не меньше дробной части $$y$$.

д) $$\frac1x>\frac1y.$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\ y\ne 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac1x-\frac1y=\frac{y-x}{xy}>0.$$

Значит, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Получаем:

$$\begin{cases} x>0,\ y<0,\\ x>0,\ y>x,\\ x<0,\ y<x. \end{cases}$$

е) $$\sin x>\sin y.$$

Равенство $$\sin x=\sin y$$ выполняется при

$$y=x+2\pi n,\qquad y=\pi-x+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Неравенство $$\sin x>\sin y$$ задаёт на плоскости чередующиеся полосы между этими прямыми.

ж) $$\min(x,y)=1.$$

Это возможно тогда и только тогда, когда одно из чисел равно $$1$$, а другое не меньше $$1$$:

$$x=1,\ y\ge 1;\qquad y=1,\ x\ge 1.$$

з) $$xy+1\ge 0.$$

Преобразуем:

$$xy\ge -1.$$

Если $$x>0,$$ то

$$y\ge -\frac1x.$$

Если $$x<0,$$ то при делении на отрицательное число знак меняется:

$$y\le -\frac1x.$$

При $$x=0$$ неравенство выполняется, так как $$1\ge 0.$$

Итак, множество точек задаётся областью по обе стороны гиперболы $$y=-\frac1x$$ с включением самой гиперболы.

Ответ

а) $$x\ge 0,\ y\ge 0$$ или $$x<0,\ y\ge -2x.$$

б) Область, задаваемая неравенством $$|x|-|y|<a.$$

в) Все точки, для которых $$[x]\le [y].$$

г) Все точки, для которых $$\{x\}\ge \{y\}.$$

д) $$\begin{cases}x>0,\ y<0,\\ x>0,\ y>x,\\ x<0,\ y<x.\end{cases}$$

е) Полосы между прямыми $$y=x+2\pi n$$ и $$y=\pi-x+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

ж) $$x=1,\ y\ge 1$$ или $$y=1,\ x\ge 1.$$

з) $$xy+1\ge 0.$$