Упр.89 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=\sin(\arcsin(x))$$;
   б) $$y=\arcsin(\sin(x))$$;
   в) $$y=\cos(2\arccos(x))$$;
   г) $$y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x))$$.

Используем свойства обратных тригонометрических функций.

а)

$$y=\sin(\arcsin x)=x,$$
так как $$\arcsin x$$ принимает значения из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, а область определения функции:
$$|x|\le 1.$$

График — отрезок прямой $$y=x$$ при $$-1\le x\le 1$$.

б)

$$y=\arcsin(\sin x)=x,$$
если
$$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}.$$

Вообще функция $$\arcsin(\sin x)$$ имеет вид «пилообразной» ломаной, повторяющейся с периодом $$2\pi$$ и принимающей значения из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

в)

$$y=\cos(2\arccos x).$$
Положим $$t=\arccos x$$. Тогда $$\cos t=x$$ и
$$\cos(2t)=2\cos^2 t-1=2x^2-1.$$
Следовательно,
$$y=2x^2-1,\qquad -1\le x\le 1.$$

График — часть параболы $$y=2x^2-1$$ на отрезке $$[-1,1]$$.

г)

$$y=\operatorname{arctg}(\tg x)=x,$$
если
$$-\frac{\pi}{2}

Вообще функция $$\operatorname{arctg}(\tg x)$$ задаётся на всех промежутках
$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
и на каждом из них совпадает с $$y=x$$.

Ответ

а) $$y=x,\ |x|\le 1$$;
б) $$y=\arcsin(\sin x)$$, $$-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}$$;
в) $$y=2x^2-1,\ -1\le x\le 1$$;
г) $$y=\operatorname{arctg}(\tg x)=x,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$