Упр.5 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- а) Какие остатки могут давать точные квадраты при делении на $$3$$, на $$4$$?
б) Может ли дискриминант квадратного уравнения с целыми коэффициентами равняться $$23$$?
в) Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые. Могут ли длины катетов быть нечетными числами?
г) В десятичной записи $$12$$-значного числа $$N$$ цифры $$2$$ и $$9$$ встречаются по $$2$$ раза, а остальные — по одному разу. Может ли $$N$$ быть точным квадратом?
а) При делении на $$3$$ квадрат целого числа может давать только остатки $$0$$ или $$1$$.
Действительно, если $$a=3k$$, то $$a^2=9k^2$$, остаток равен $$0$$. Если $$a=3k+1$$, то
$$a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1,$$
остаток равен $$1$$. Если $$a=3k+2$$, то
$$a^2=(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1,$$
снова остаток $$1$$.
При делении на $$4$$ квадрат целого числа также может давать только остатки $$0$$ или $$1$$:
$$a=4k,\quad a^2=16k^2,$$
$$a=4k+1,\quad a^2=16k^2+8k+1,$$
$$a=4k+2,\quad a^2=16k^2+16k+4,$$
$$a=4k+3,\quad a^2=16k^2+24k+9.$$
Во всех случаях остаток равен $$0$$ или $$1$$.
б) Нет, не может.
Для квадратного уравнения с целыми коэффициентами дискриминант имеет вид
$$D=b^2-4ac.$$
Если бы $$D=23$$, то
$$b^2-4ac=23,$$
то есть
$$b^2=4ac+23.$$
Правая часть при делении на $$4$$ даёт остаток $$3$$, а квадрат целого числа при делении на $$4$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Противоречие.
в) Нет, не могут.
Если катеты целые и нечётные, то можно записать
$$a=2k+1,\quad b=2m+1.$$
Тогда
$$a^2=4k^2+4k+1,\quad b^2=4m^2+4m+1,$$
то есть оба квадрата дают остаток $$1$$ при делении на $$4$$. Тогда
$$c^2=a^2+b^2\equiv 1+1\equiv 2 \pmod 4.$$
Но квадрат целого числа не может давать остаток $$2$$ при делении на $$4$$. Противоречие.
г) Нет, не может.
Сумма цифр числа $$N$$ равна
$$0+1+2+\cdots+9+2+9=45+11=56.$$
Следовательно, $$N$$ делится на $$3$$, так как $$56$$ делится на $$3$$? Нет, $$56$$ не делится на $$3$$, значит по признаку делимости на $$3$$ число $$N$$ не делится на $$3$$. Но это не мешает быть квадратом. Проверим по модулю $$3$$: цифры $$2$$ и $$9$$ дают вклад $$2+0$$, а остальные цифры $$0,1,3,4,5,6,7,8$$ дают сумму
$$0+1+0+1+2+0+1+2=7,$$
всего сумма цифр равна $$7+2+0=9$$? Удобнее рассмотреть остаток суммы цифр по модулю $$3$$: сумма всех цифр без повторов равна $$45$$, а добавленные цифры $$2$$ и $$9$$ дают ещё $$2+9=11$$, значит общая сумма равна $$56$$, то есть $$56\equiv 2 \pmod 3.$$
Квадрат целого числа при делении на $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$, а число с суммой цифр $$56$$ даёт остаток $$2$$ при делении на $$3$$. Значит, $$N$$ не может быть точным квадратом.
Ответ: а) $$0$$ и $$1$$; б) нет; в) нет; г) нет.
