Упр.41 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите в целых числах уравнение $$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+\dots+\frac{1}{x}=3$$.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+\dots+\frac{1}{x}=3.$$

Каждую дробь запишем в виде

$$\frac{x-k}{x}=1-\frac{k}{x}.$$

Тогда

$$\left(1-\frac{1}{x}\right)+\left(1-\frac{2}{x}\right)+\left(1-\frac{3}{x}\right)+\dots+\frac{1}{x}=3.$$

Сумма первых слагаемых равна $$x-1$$, а сумма чисел от $$1$$ до $$x-1$$ равна

$$1+2+3+\dots+(x-1)=\frac{x(x-1)}{2}.$$

Получаем:

$$x-1-\frac{1+2+3+\dots+(x-1)}{x}=3,$$

$$x-1-\frac{1}{x}\cdot \frac{x(x-1)}{2}=3,$$

$$x-1-\frac{x-1}{2}=3.$$

Умножим на $$2$$:

$$2x-2-(x-1)=6,$$

$$x-1=6,$$

$$x=7.$$

Ответ: $$7$$.