Упр.3 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что:
а) наименьший (отличный от 1) делитель составного числа $$N$$ не превосходит $$\sqrt{N}$$;
б) число $$N$$ имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда $$N$$ — точный квадрат.

Пусть $$d$$ — наименьший делитель составного числа $$N,$$ отличный от $$1.$$ Тогда существует парный ему делитель $$\frac{N}{d},$$ и так как $$d$$ — наименьший нетривиальный делитель, то

$$d \le \frac{N}{d}.$$

Умножим обе части неравенства на $$d>0$$:

$$d^2 \le N.$$

Следовательно,

$$d \le \sqrt{N}.$$

Тем самым наименьший отличный от $$1$$ делитель составного числа $$N$$ не превосходит $$\sqrt{N}.$$

Теперь докажем второе утверждение.

Если число $$N$$ имеет нечётное число делителей, то среди его делителей есть непарный делитель, то есть такой, который при разложении на пары $$d$$ и $$\frac{N}{d}$$ совпадает сам с собой. Значит, для некоторого делителя $$d$$ выполняется

$$d=\frac{N}{d}.$$

Тогда

$$d^2=N,$$

то есть $$N$$ — точный квадрат.

Обратно, если $$N$$ — точный квадрат, то пусть $$N=m^2.$$ Тогда все делители числа $$N$$, кроме $$m,$$ разбиваются на пары $$d$$ и $$\frac{N}{d},$$ а делитель $$m$$ не имеет пары, отличной от него самого. Поэтому общее число делителей у $$N$$ нечётно.

Итак, число $$N$$ имеет нечётное число делителей тогда и только тогда, когда $$N$$ — точный квадрат.