Упр.39 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите $$\log(xyz;u)$$, если $$\log(x;u)=a$$, $$\log(y;u)=b$$, $$\log(z;u)=c$$.
   б) Найдите $$\log(54;168)$$, если $$\log(7;12)=a$$, $$\log(12;24)=b$$.

а) Используем свойство логарифмов:

$$\log_u(xyz)=\log_u x+\log_u y+\log_u z.$$

Так как $$\log_x u=a,$$ $$\log_y u=b,$$ $$\log_z u=c,$$ то

$$\log_u x=\frac1a,\qquad \log_u y=\frac1b,\qquad \log_u z=\frac1c.$$

Тогда

$$\log_u(xyz)=\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{bc+ac+ab}{abc}.$$

Следовательно,

$$\log_{xyz}u=\frac{abc}{ab+ac+bc}.$$

б) Обозначим

$$\log_7 12=a,\qquad \log_{12}24=b.$$

Найдём сначала $$\log_7 2$$ и $$\log_7 3.$$

Из равенства $$\log_{12}24=b$$ получаем:

$$\log_{12}(2\cdot 12)=1+\log_{12}2=b,$$

откуда

$$\log_{12}2=b-1.$$

Так как $$12=3\cdot 4=3\cdot 2^2,$$ то

$$\log_{12}24=\log_{12}(3\cdot 8)=\log_{12}3+3\log_{12}2=b,$$

значит

$$\log_{12}3=b-3(b-1)=3-2b.$$

Теперь перейдём к основанию 7:

$$\log_7 12=\log_7(3\cdot 4)=\log_7 3+2\log_7 2=a.$$

Кроме того,

$$\log_7 24=\log_7(2\cdot 12)=\log_7 2+a.$$

Но также

$$\log_7 24=\log_7(3\cdot 8)=\log_7 3+3\log_7 2.$$

Следовательно,

$$\log_7 3+3\log_7 2=\log_7 2+a,$$

то есть

$$\log_7 3+2\log_7 2=a.$$

Сравнивая с $$\log_7 12=\log_7 3+2\log_7 2=a,$$ получаем систему, из которой

$$\log_7 2=ab-a,\qquad \log_7 3=3a-2ab.$$

Теперь найдём

$$\log_{54}168=\log_{54}(2^3\cdot 3\cdot 7).$$

Так как $$54=2\cdot 3^3,$$ то

$$\log_{54}168=\frac{\log_7 168}{\log_7 54}.$$

Вычислим числитель и знаменатель:

$$\log_7 168=\log_7(2^3\cdot 3\cdot 7)=3\log_7 2+\log_7 3+1,$$

$$\log_7 54=\log_7(2\cdot 3^3)=\log_7 2+3\log_7 3.$$

Подставляя найденные значения, получаем

$$\log_7 168=3(ab-a)+(3a-2ab)+1=ab+1,$$

$$\log_7 54=(ab-a)+3(3a-2ab)=8a-5ab.$$

Тогда

$$\log_{54}168=\frac{ab+1}{8a-5ab}=\frac{ab+1}{a(8-5b)}.$$

Ответ

а) $$\frac{abc}{ab+ac+bc}$$; б) $$\frac{ab+1}{a(8-5b)}$$.