Упр.2 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

При каких целых $$a$$ оба корня уравнения $$x^2+ax^2+6=0$$ являются целыми числами?

Пусть уравнение имеет вид $$x^2+ax+6=0.$$

По теореме Виета для его корней $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем:

$$x_1+x_2=-a,\qquad x_1x_2=6.$$

Так как оба корня целые, нужно разложить число $$6$$ на пары целых множителей:

$$\begin{aligned} x_1=-6,\; x_2=-1 &\Rightarrow a=7,\\ x_1=-3,\; x_2=-2 &\Rightarrow a=5,\\ x_1=1,\; x_2=6 &\Rightarrow a=-7,\\ x_1=2,\; x_2=3 &\Rightarrow a=-5. \end{aligned}$$

Других целых пар множителей числа $$6$$ нет.

Ответ: $$-7,\,-5,\,5,\,7.$$