Упр.268 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что:

• а) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$$, если $$f(x)$$ — нечётная функция;
• б) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$$, если $$f(x)$$ — чётная функция.

Пусть $$F(x)$$ — первообразная функции $$f(x)$$.

а)

Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Тогда первообразную можно выбрать так, что $$F(-x)=F(x)$$.

Обозначим

$$S=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.$$

По формуле Ньютона — Лейбница

$$S=F(a)-F(-a).$$

Так как $$F(-a)=F(a)$$, получаем

$$S=F(a)-F(a)=0.$$

Следовательно,

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0.$$

б)

Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$. Тогда первообразную можно выбрать так, что $$F(-x)=-F(x)$$.

Пусть

$$S=\int_{-a}^{a} f(x)\,dx.$$

Тогда

$$S=F(a)-F(-a).$$

Так как $$F(-a)=-F(a)$$, имеем

$$S=F(a)+F(a)=2F(a).$$

Но

$$F(a)=\int_{0}^{a} f(x)\,dx,$$

значит

$$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.$$

Ответ

а) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0$$; б) $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$$.