Упр.253 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите все функции $$f$$, такие, что: а) $$f'(x)=\frac{1}{x-1}$$ и $$f(3)=-1$$; б) $$f»(x)=3-x$$, $$f(0)=1$$, $$f'(1)=0$$; в) $$f'(x)=\cos(x)$$ и $$f(e)=?$$; г) $$f»(x)=-1$$ и $$f(0)=f(2)=0$$.

а) Интегрируем производную:

$$f'(x)=\frac{1}{x-1} \Rightarrow f(x)=\ln|x-1|+C.$$

Используем условие $$f(3)=-1$$:

$$\ln|3-1|+C=-1,$$

$$\ln 2+C=-1,$$

$$C=-1-\ln 2.$$

Следовательно,

$$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1.$$

б) Найдём сначала первую производную:

$$f»(x)=3-x \Rightarrow f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}+C.$$

Из условия $$f'(1)=0$$ получаем:

$$3-\frac{1}{2}+C=0,$$

$$C=-\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$f'(x)=3x-\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}.$$

Интегрируем ещё раз:

$$f(x)=\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{6}-\frac{5x}{2}+C.$$

Из условия $$f(0)=1$$:

$$C=1.$$

Итак,

$$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1.$$

в) Интегрируем:

$$f'(x)=\cos x \Rightarrow f(x)=\sin x+C.$$

Из условия $$f(e)=\pi$$:

$$\sin e+C=\pi,$$

$$C=\pi-\sin e.$$

Значит,

$$f(x)=\sin x-\sin e+\pi.$$

г) Дважды интегрируем:

$$f»(x)=-1 \Rightarrow f'(x)=-x+C,$$

$$f(x)=-\frac{x^2}{2}+Cx+D.$$

Используем условия $$f(0)=0$$ и $$f(2)=0$$:

$$D=0,$$

$$-\frac{4}{2}+2C=0,$$

$$-2+2C=0,$$

$$C=1.$$

Следовательно,

$$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x.$$

Ответ

а) $$f(x)=\ln|x-1|-\ln 2-1$$;

б) $$f(x)=-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{2}-\frac{5x}{2}+1$$;

в) $$f(x)=\sin x-\sin e+\pi$$;

г) $$f(x)=-\frac{x^2}{2}+x$$.